Differentialgeometri och allmän relativitet

Einsteins allmänna relativitetsteori är en av de mest eleganta teorierna inom fysiken. Den beskriver gravitationen inte som en kraft, utan som en krökning av rumtiden själv.

För att förstå denna krökning behöver vi differentialgeometri - matematiken som beskriver krökta ytor och mångfalder (manifolds).

Från euklidisk till krökt geometri

I vanlig euklidisk geometri är rymden platt. Parallella linjer möts aldrig, vinkelsumman i en triangel är alltid 180 grader, och Pythagoras sats gäller överallt.

Men på en sfär - som jordens yta - gäller inte dessa regler. Två linjer som börjar parallellt (som två meridianer vid ekvatorn) kan mötas (vid polerna). Detta är ett exempel på en krökt yta.

Metrisk tensor

För att beskriva hur avstånd mäts på en krökt yta använder vi en metrisk tensor g_μν. Denna tensor berättar hur man beräknar avstånd mellan närliggande punkter:

ds² = g_μν dx^μ dx^ν

I platt rumtid (Minkowski) är denna tensor diagonal och konstant. Men i allmän relativitet varierar den från punkt till punkt beroende på materiens och energins närvaro.

Einsteins fältekvationer

Hjärtat i allmän relativitet är Einsteins fältekvationer:

Där G_μν är Einstein-tensorn (som beskriver rumtidens krökning) och T_μν är energi-impuls-tensorn (som beskriver materia och energi).

Dessa ekvationer säger helt enkelt: materia berättar för rumtiden hur den ska krökas, och krökta rumtiden berättar för materia hur den ska röra sig.

Varför detta fascinerar mig

Det som fascinerar mig mest är den matematiska elegansen. Att gravitationen - något vi upplever dagligen - kan beskrivas så exakt med differentialgeometri visar på en djup koppling mellan matematik och fysik.

Denna typ av matematiskt tänkande påverkar också hur jag närmar mig problemlösning inom programmering. Att hitta rätt abstraktion kan göra komplexa problem nästan triviala - precis som differentialgeometri gör med gravitation.